مشتق

مبحث مشتق و کاربرد مشتق بخش گسترده‌ای از ریاضیات است که بخاطر  اهمیتش معمولا ۸ سوال در کنکور از آن طرح می‌شود. سوالات مشتق و کاربرد مشتق ساده‌ترین و البته کم‌تلفات‌ترین سوالات(از نظر زمان!) در کنکور هستند که فرصت خوبی را برای افزایش درصد ریاضی برای دانش‌آموزان فراهم می‌کنند. علاوه بر آن نیز راحت‌تر از بقیه مباحث ریاضی است. در ادامه مبحث مشتق را بطور کامل بررسی می‌کنیم و مبحث کاربرد مشتق را در نوشته‌ای دیگر توضیح می‌دهیم. با ما باشید با افزایش درصد ریاضی کنکورتان.

تعریف مشتق

به شکل سمت راست در زیر نگاه کنید. تابع f(x) را می‌بینید که بین دو نقطه از آن خطی رسم شده است. از مباحث ریاضی که در قبل خوانده‌ایم می‌دانیم که شیب این خط برابر شیب خط مماس خواهد بود. در واقع  شیب خط قاطع نمودار در نقاط A و B می‌باشد. حالا اگر نقطه‌ی B را خیلی نزدیک A فرض کنیم چه اتفاقی می‌افتد؟ در اینصورت اگر از فاصله دور به شکل نگاه کنیم بنظر می‌رسد که خط نمودار را فقط در یک نقطه قطع کرده و بر نمودار مماس نیز هست.

شیب خط مماس - مشتقنمودار مشتق

خب حالا اگر شیب این خط مماس را بدست آوریم، به آن مشتق تابع f در نقطه A می‌گوییم. شیب خط مماس با رابطه زیر محاسبه می‌شود که ما اینجا قصد اثبات آن را نداریم:

تعریف دوم مشتق

رابطه دوم با کمی تغییر در رابطه اول حاصل شده و در واقع هر دو یکی هستند. این تعریف پایه مشتق بود و معمولا در کنکور یا سوال از آن طرح نمی‌شود یا هر چند سال یک‌بار یک سوال مطرح می‌شود؛ به خواندن ادامه دهید تا قسمت‌های پرسوال مشتق را فرابگیرید.

مشتق راست و مشتق چپ

در بالا گفتیم که نقطه‌ی B را آن قدر به A نزدیک می‌کنیم که فاصله‌ی A و B بسیار کوچک شود و به نظر برسد که خط قاطع A و B همان خط مماس در نقطه A است. در این مثال نقطه B در سمت راست A بود و ما از سمت راست به A نزدیک می‌شدیم. در اینصورت که ما از سمت راست به نقطه‌ی مورد نظر نزدیک می‌شویم، می‌گوییم “مشتق راست” را در نقطه‌ی A محاسبه می‌کنیم. حالا اگر نقطه‌ی B در سمت چپ A بود و ما از سمت چپ به A نزدیک می‌شدیم، به معنی این بود که داریم “مشتق چپ” تابع f را در A محاسبه می‌کنیم. این تعاریف را در قالب ریاضی به شکل زیر بیان می‌کنیم:

مشتق راست
مشتق چپ

مشتق پذیری

در مثال اول نقطه A نقطه‌ای بود که ما در آن نقطه خطی بر نمودار مماس کردیم و شیب آن خط را مشتق نامیدیم. حالا فرض کنید نمودرا تابع به یکی از شکل‌های زیر باشد و نقطه‌ی A نیز نقطه‌ی مشخص‌شده در شکل باشد:

مشتق‌پذیری مشتق‌پذیری

در هر یکی از شکل‌های بالا خطوط قرمز مماس بر نمودار در نقطه A هستند. اگر بخواهیم شیب این مماس‌ها را بدست آوریم با کسر “عدد تقسیم بر صفر” مواجه می‌شویم که این کسر عددی تعریف نشده است. در این حالات که شیب خط مماس بر نمودار، تعریف‌نشده باشد، مشتق نیز تعریف نمی‌شود و می‌گوییم تابع f در نقطه A مشتق‌ناپذیر است.

خب حالا به شکل‌های زیر دقت کنید. آیا می‌توانیم در نقطه A از تابع f خطی را بر f مماس کنیم؟ در نگاه اول شاید بگویید بله. ولی اگر با مفهوم خط مماس آشنا باشید، متوجه می‌شوید که در نقطه A نمی‌توان خط مماس رسم کرد؛ چون f در نقطه A تعریف‌نشده است و جزء دامنه f نمی‌باشد. پس در نتیجه در این حالت هم تابع در نقطه مورد نظر مشتق‌پذیر نمی‌باشد.

مشتق

در کل نقاط مشتق‌پذیر را در زیر خلاصه می‌کنیم:

۱- شیب خط مماس تعریف‌نشده باشد.

۲- تابع در نقطه A تعریف نشود یا بعبارتی نقطه A جزء دامنه f نباشد.

فرمول‌های مشتق

محاسبه مشتق با تعاریفی که در بالا مطرح شد کاری سخت و وقت‌گیر و گاها ناممکن است! به همین برای برخی توابع خاص فرمول‌هایی را از تعریف مشتق بدست آورده‌اند که در زیر به مهم‌ترین آن‌ها اشاره می‌کنیم:

مشتق چندجمله‌ای
مشتق رادیکال
مشتق رادیکال با فرجه n
مشتق سینوس
مشتق کسینوس
مشتق تانژانت
مشتق کتانژانت
تاریخ انتشار : 2018-04-29 18:59:35
356 بازدید
تاکنون 0 نفر در مورد این مقاله نظر داده اند؛ شما هم نظر خود را ثبت کنید:

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

نظرات

یک آرزوی بزرگ

همیشه آرزو داشتم تا یک منبع آموزش کنکور وجود داشت تا دانش آموز را بی نیاز از هر کلاسی کند؛ منبعی که کنکورلرن نام دارد امروزه به دانش آموزان زیادی کمک می کند تا به رتبه دلخواهشان برسند